Дальневосточный математический журнал1608-845X10.47910/FEMJ202606OtherУгловые производные и производная Шварца голоморфного однолистного отображения круга в себяAngular derivatives and Schwarzian derivative of holomorphic univalent self-maps of a diskДубининВ. Н.DubininV. N.vdubinin51@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-4403-155XInstitute for Applied Mathematics, Far Eastern Branch, Russian Academy of SciencesVladivostokRussiaИнститут прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наукВладивостокРоссия1506202626150561302202625052026https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/CC BY 4.0http://femj.iam.dvo.ru/periodical.php?art=573

Известное неравенство для произведения степеней угловых производных в граничных неподвижных точках голоморфного и однолистного отображения единичного круга в себя дополняется слагаемыми, включающими производную Шварца в начале координат.

The well-known inequality for the product of powers of angular derivatives at boundary fixed points of a holomorphic mapping of the unit disk into itself is supplemented by terms that include the Schwarzian derivative at the origin.

голоморфное отображениенеподвижные точкипроизводная Шварцаприведённые модулиholomorphic mapfixed pointsSchwarzian derivativereduced moduliРабота выполнена в рамках государственного задания ИПМ ДВО РАН (№ 075-00460-26-00).The work was carried out within the framework of the state assignment of the Institute of Problems of Applied Mathematics FEB RAS (No. 075-00460-26-00).Ahlfors L. V., Conformal invariants: topics in geometric function theory, McGraw–Hill Series in Higher Mathematics, McGraw–Hill Book Co., New York–Dusseldorf–Johannesburg, 1973.Cowen C. C., Pommerenke Ch., “Inequalities for the angular derivative of an analytic function in the unit disk”, J. London Math. Soc., 26:2, (1982), 271–289.Pommerenke Ch., Boundary Behaviour of Conformal Maps, Springer-Verlag, Berlin, 1992.Солынин А. Ю., “Граничное искажение и экстремальные задачи в некоторых классах однолистных функций”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 204, (1993), 115–142.Burns D. M., Krantz S.G., “Rigidity of holomorphic mappings and a new Schwarz lemma at the boundary”, J. Amer. Math. Soc., 7:3, (1994), 661–676.Pommerenke Ch., Vasil’ev A., “On bounded univalent functions and the angular derivative”, Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A, 54, (2000), 79–106.Tauraso R., Vlacci F., “Rigidity at the boundary for holomorphic self-maps of the unit disk”, Complex Variables Theory Appl., 45:2, (2001), 151–165.Anderson J. M., Vasil’ev A., “Lower Schwarz–Pick estimates and angular derivatives”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 33:1, (2008), 101–110.Shoikhet D., “Another look at the Burns–Krantz theorem”, J. Anal. Math., 105:1, (2008), 19–42.Горяйнов В. В., “Голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 208:3, (2017), 54–71.Горяйнов В. В., Кудрявцева О. С., Солодов А. П., “Итерации голоморфных отображений, неподвижные точки и области однолистности”, УМН, 77:6(468), (2022), 3–68.Кудрявцева О. С., Солодов А. П., “Область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками”, УМН, 78:6(474), (2023), 185–186.Кудрявцева О. С., “Точные области взаимного изменения коэффициентов голоморфных отображений круга в себя с неподвижными точками”, Изв. вузов. Матем., 5 (2023), 48–57.Кудрявцева О. С., Солодов А. П., “Область однолистного покрытия на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками”, Матем. заметки, 116:4, (2024), 632–635.Кудрявцева О. С., Солодов А.П., “Точные области однолистности и однолистного покрытия на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками”, Матем. сб., 216:4, (2025), 44–66.Дубинин В. Н., Ким В. Ю., “Обобщенные конденсаторы и теоремы о граничном искажении при конформном отображении”, Дальневост. матем. журн., 13:2, (2013), 196–208.Contreras M. D., Diaz-Madrigal S., Vasile’v A., “Digons and angular derivatives of analytic self-maps of the unit disk”, Complex Var. Elliptic Equ., 52:8, (2007), 685–691.Dubinin V. N., “On holomorphic self-maps of a disk with fixed points”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 47:2, (2026), 507–513.Nehari Z., “Some inequalities in the theory of functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 75:2, (1953), 256–286.Dubinin V. N., Condenser Capacities and Symmetrization in Geometric Function Theory, Springer, Basel, 2014.Ahlfors L. V., Conformal invariants: topics in geometric function theory, McGraw–Hill Series in Higher Mathematics, McGraw–Hill Book Co., New York–Dusseldorf–Johannesburg, 1973.Cowen C. C., Pommerenke Ch., “Inequalities for the angular derivative of an analytic function in the unit disk”, J. London Math. Soc., 26:2, (1982), 271–289.Pommerenke Ch., Boundary Behaviour of Conformal Maps, Springer-Verlag, Berlin, 1992.Solynin A. Yu., “Granichnoe iskazhenie i ekstremalnye zadachi v nekotorykh klassakh odnolistnykh funktsii”, Zap. nauchn. sem. POMI, 204, (1993), 115–142.Burns D. M., Krantz S.G., “Rigidity of holomorphic mappings and a new Schwarz lemma at the boundary”, J. Amer. Math. Soc., 7:3, (1994), 661–676.Pommerenke Ch., Vasil’ev A., “On bounded univalent functions and the angular derivative”, Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A, 54, (2000), 79–106.Tauraso R., Vlacci F., “Rigidity at the boundary for holomorphic self-maps of the unit disk”, Complex Variables Theory Appl., 45:2, (2001), 151–165.Anderson J. M., Vasil’ev A., “Lower Schwarz–Pick estimates and angular derivatives”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 33:1, (2008), 101–110.Shoikhet D., “Another look at the Burns–Krantz theorem”, J. Anal. Math., 105:1, (2008), 19–42.Goryainov V. V., “Golomorfnye otobrazheniya edinichnogo kruga v sebya s dvumya nepodvizhnymi tochkami”, Matem. sb., 208:3, (2017), 54–71.Goryainov V. V., Kudryavtseva O. S., Solodov A. P., “Iteratsii golomorfnykh otobrazhenii, nepodvizhnye tochki i oblasti odnolistnosti”, UMN, 77:6(468), (2022), 3–68.Kudryavtseva O. S., Solodov A. P., “Oblast odnolistnosti na klasse golomorfnykh otobrazhenii kruga v sebya s dvumya granichnymi nepodvizhnymi tochkami”, UMN, 78:6(474), (2023), 185–186.Kudryavtseva O. S., “Tochnye oblasti vzaimnogo izmeneniya koeffitsientov golomorfnykh otobrazhenii kruga v sebya s nepodvizhnymi tochkami”, Izv. vuzov. Matem., 5 (2023), 48–57.Kudryavtseva O. S., Solodov A. P., “Oblast odnolistnogo pokrytiya na klasse golomorfnykh otobrazhenii kruga v sebya s dvumya granichnymi nepodvizhnymi tochkami”, Matem. zametki, 116:4, (2024), 632–635.Kudryavtseva O. S., Solodov A.P., “Tochnye oblasti odnolistnosti i odnolistnogo pokrytiya na klasse golomorfnykh otobrazhenii kruga v sebya s dvumya granichnymi nepodvizhnymi tochkami”, Matem. sb., 216:4, (2025), 44–66.Dubinin V. N., Kim V. Yu., “Obobshchennye kondensatory i teoremy o granichnom iskazhenii pri konformnom otobrazhenii”, Dalnevost. matem. zhurn., 13:2, (2013), 196–208.Contreras M. D., Diaz-Madrigal S., Vasile’v A., “Digons and angular derivatives of analytic self-maps of the unit disk”, Complex Var. Elliptic Equ., 52:8, (2007), 685–691.Dubinin V. N., “On holomorphic self-maps of a disk with fixed points”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 47:2, (2026), 507–513.Nehari Z., “Some inequalities in the theory of functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 75:2, (1953), 256–286.Dubinin V. N., Condenser Capacities and Symmetrization in Geometric Function Theory, Springer, Basel, 2014.