В работе исследуется эргодичность дипольных спиновых систем с различной геометрией решёток с использованием метрики Тимуралай - Маунтейн, определяемой по цепочке микросостояний, сгенерированной каноническим алгоритмом Метрополиса. Рассматриваются классическая двумерная модель Изинга на квадратной решётке, вершинно-фрустрированная двумерная кагоме-решётка и послойно уложенная трёхмерная кагоме-решётка с дальнодействующим дипольным взаимодействием. Анализ температурной зависимости ТМ-метрики и скорости эргодизации позволяет явно проследить влияние критического замедления и геометрической фрустрации на восстановление эргодичности. Полученные для двумерных решёток результаты согласуются с известными ранее данными и подтверждают, что в квадратной решётке Изинга эргодичность нарушается только вблизи критической температуры, тогда как в кагоме-решётке фрустрация приводит к сохранению неэргодичного поведения в широком низкотемпературном диапазоне. Показано, что для трёхмерного кагоме спинового льда эргодичность реализуется лишь в парамагнитной фазе, тогда как в упорядоченной и замороженной фазах система остаётся практически неэргодичной. Эти результаты демонстрируют, что анализ ТМ-метрики может служить практическим критерием применимости алгоритма Метрополиса для получения термодинамических средних во фрустрированных спиновых системах.

In this work, we investigate the ergodicity of Ising-like dipolar spin systems on different lattice geometries using the Thirumalai - Mountain metric, defined along a sequence of microstates generated by the canonical Metropolis algorithm. We consider the classical two-dimensional Ising model on a square lattice, a vertex-frustrated two-dimensional kagome lattice, and a stacked three-dimensional kagome lattice with long-range dipolar interactions. Analysis of the temperature dependence of the TM metric and the ergodization rate makes it possible to explicitly trace the influence of critical slowing down and geometric frustration on the recovery of ergodicity. The results obtained for the two-dimensional lattices are consistent with previously reported data and confirm that, on the square Ising lattice, ergodicity is violated only in the vicinity of the critical temperature, whereas on the kagome lattice frustration leads to the persistence of non-ergodic behavior over a wide low-temperature range. We show that for the three-dimensional kagome spin ice, ergodicity is realized only in the paramagnetic phase, while in the ordered and frozen phases the system remains practically non-ergodic. These results demonstrate that analysis of the TM metric can serve as a practical criterion for assessing the applicability of the Metropolis algorithm to the calculation of thermodynamic averages in frustrated spin systems.