Численные аспекты одной формулы обращения преобразования Радона |
Д. С. Аниконовa, В. Г. Назаровb |
Mесто работы: aИнститут математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск bИнститут прикладной математики ДВО РАН, г. Владивосток |
2026, выпуск 1, С. 14–21 DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202602 |
Аннотация |
| Работа посвящена численному анализу одного аспекта теории преобразования Радона в нечетномерном евклидовом пространстве. Указанный аспект состоит в том, что известная формула обращения, доказанная для гладких функций, оказывается справедливой и для разрывных функций во всех точках непрерывности подынтегральной функции при выполнении дополнительного условия. Это условие, названное нами псевдовыпуклостью множества точек непрерывности, совершенно необременительно для многих математических моделей теории зондирования. Вместе с тем оно существенно расширяет возможности практического использования теоретических результатов. Поэтому представляется целесообразным проверить работоспособность численного алгоритма реконструкции, основанного на упомянутой формуле. Проведенное в работе тестирование показало достаточно хорошее соответствие теоретических и компьютерных результатов. |
Ключевые слова: преобразование Радона, интегральная геометрия, зондирование, индикатор, разрывные функции, численный эксперимент. |
Полный текст статьи (файл PDF) |
Библиографический список |
| [1] Курант Р., Уравнения с частными производными, Мир, М., 1964. [2] Йон Ф., Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными, Изд-во иностранной литературы, М., 1958. [3] Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я., Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений, Физматгиз, М., 1962. [4] Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я., Теория операторов и некорректные задачи, Издательство Института математики СО РАН, Новосибирск, 2010. [5] Романов В. Г., Устойчивость в обратных задачах, Научный Мир, М., 2004. [6] Markoe A., Analytic tomography in Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, Cambridge. UK. [7] Наттерер Ф., Математические аспекты компьютерной томографии, Мир, М., 1990. [8] Kalnin T. G., Ivonin D. A., Abrosimov K. N., Grachev E. A., Sorokina N. V., “Analysis of tomographic images of the soil pore space structure by integral geometry methods”, Eurasian Soil Science, 54:9, (2021), 1400–1409. [9] Темиргалиев Н., Абикенова Ш.К., Ажгалиев Ш.У., Таугынбаева Г. Е., “Преобразование Радона в схеме К(В)П-исследований и теории квази- Монте-Карло”, Известия вузов. Математика, 2020, №3, 98–104. [10] Баев А. В., “Использование преобразования Радона для решения обратной задачи рассеяния в плоской слоистой акустической среде”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 58:4, (2018), 550—560. [11] Симонов Е. Н., Прохоров А. В., Акинцева А. В., “Математическое моделирование реконструкции объемных изображений в рентгеновской компьютерной томографии с применением голографических методов”, Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Математическое моделирование и программирование, 12:3, (2019), 102–114. [12] Derevtsov E.Yu., Volkov Yu. S., Schuster T., “Differential equations and uniqueness theorems for the generalized attenuated ray transforms of tensor fields”, Numerical computations: Theory and algorithms. Part II. Sergeyev Ya. D., Kvasov D. E. (Eds.). Lecture Notes in Computer Science, 11974, (2020), 97-–111. [13] Anikonov D. S., Balakina E.Yu., Konovalova D. S., “An inverse problem for generalized Radon transformation”, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics, 15:1, (2022), 41–51. [14] Anikonov D. S., Konovalova D. S., “Formula for the inversion of the Radon transform in the class of discontinuous functions”, Siberian Journal of Industrial Mathematics, 27:3, (2024), 5–11. |
Источники финансирования: Работа выполнена по программе госзадания ИМ СО РАН FWNF-2026-0029 и в рамках государственного задания ИПМ ДВО РАН №075-00459-25-00. |